summaryrefslogblamecommitdiffstats
path: root/tabor/delavnica/manim/sobota.md
blob: 3347f9c041a168102bf6ce94ffcd06daa74eb42b (plain) (tree)




















































































                                                                                                                                                                                                                                                       
fourierova transformacija
=========================

# motivacija

* vizualizacija zvoka s spektrogramom
* frekvenčni spekter zvoka je jakost zvoka v odvisnosti od posamezne frekvence zvoka
* zvok dobimo kot amplitudo v odvisnosti od časa, spektrogram pa je grafični prikaz spremembe frekvenčnega spektra skozi čas
* kako torej razstavimo vhodni signal (trenutna amplituda v odvisnosti od časa) v frekvenčni spekter

# motivacija 2

* plimovanje sicer na prvi pogled izgleda naključno, vendar se izkaže, da gre za vsoto sinusnih valovanj, ki jih povzročajo spreminjajoče se lokacije nebesnih teles (razdalje do Zemlje) z različnimi amplitudami, faznimi zamiki in frekvencami.
* napovedovanje bi torej izvedli tako, da bi našli te komponente, ki sestavljajo ...

# definicija pojmov

* kaj je sinus, kosinus
* kaj je valovanje:
    * kaj je amplituda
    * kaj je faza, fazni zasuk
    * kaj je frekvenca
    * primeri: zvok, ...
* kompleksno število in kompleksna ravnina

# fourierova vrsta

* vsota končno oz. neskončno mnogo kosinusnih valovanj z različnimi amplitudami, frekvencami in faznimi zamiki
* kako bi zapisali npr. kvadratno valovanje (square wave) kot fourierovo vrsto ... sawtooth wave, triangl.
* vse periodične funkcije lahko zapišemo s fourierovo vrsto, vendar ne vedno končno
* enostavno je sešteti periodične funkcije, težje pa je ugotoviti, katere seštete periodične funkcije so komponente nekega danega valovanja/signala.

# fourierova transformacija

* matematična operacija, ki vhodnim podatkom v obliki amplitude v odvisnosti od časa priredi razporeditev frekvenčnih komponent, ki predstavljajo te vhodne podatke ter amplitude posameznih frekvenc.

# intuicija za delovanje fourierove transformacije

* animacija: *navijanje* nihanja po enotski krožnici; ko periodo zadenemo z obsegom kroga.
* kako izgleda sum sinx in sin2x
* obnašanje faznega zasuka signala oz. komponente
* transformacija vsote dveh signalov je enaka vsoti transformacij posameznih komponent obeh signalov: ft(a(x)+b(x))=ft(a(x))+ft(b(x))

# matematična oblika

* eulerjeva formula: e^(i\phi)=cos\phi+isin\phi
    * ... izpeljava
* inverz je fourierova 

# diskretni signal

* za razliko od zveze reprezentacije valovanja, je diskretna reprezentacija signala samo zaporedje vzorcev amplitude na časovni interval.
* ko nek signal zajemamo, so v diskretni obliki, torej imamo zaporedje vzorcev (samplov) amplitude v odvisnosti od odvisne spremenljivke (časa)
    * primer: mikrofon, ...
* kako pa na takih podatkih izvesti fourierovo transformacijo in pridobiti frekvenčne komponente, ki sestavljajo signal
    * mat zapis zaporedja a_n
* teorija nyquist-shannon: za popolno reprezentacijo signala z največjo frekvenco B potrebujemo vsaj 1/(2B) časovnega razmika med posameznimi vzorci (frekvenca vzorčenja je 2B)
    * pojasni!
    * slikica aliasing

# dft

* poleg vhoda je tudi izhod dft je diskreten, s tem da imamo vrednosti amplitud diskretnih frekvenčnih komponent -- izračunamo končno mnogo frekvenčnih komponent, kolikor jih potrebujemo (ločljivost)
* koncept transformacijskega okna -- lahko so to vsi vzorci (recimo pri frekvenčnem spektru), lahko pa je to le del zaporednih vzorcev (recimo pri spektrogramu)
* algoritem: naivno bi za vsako željeno frekvenco izračunali amplitudo, torej tak sum: sum začenjši t=t_1 do t_n A_vhodni(t) * e^(i2\pi f t)
* izračunska kompleksnost algoritma je število, ki predstavlja število korakov glede na število vhodnih podatkov:
    * v tem naivnem primeru algoritma za izračun: O(n * m), kjer je n število željenih frekvenc in m število vzorcev v oknu

# hitra diskretna transformacija

* nekatera
* zmanjša izračunsko zahtevnost na

# praktične uporabe

* kompresija slik z izgubami -- JPEG
* dtmf z diskretno ft

# dopplerjev radar

# uvod v heisenbergovo načelo nedoločnosti

# misc

* https://prajwalsouza.github.io/Experiments/Fourier-Transform-Visualization.html