1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
|
fourierova transformacija
=========================
# motivacija
* vizualizacija zvoka s spektrogramom
* frekvenčni spekter zvoka je jakost zvoka v odvisnosti od posamezne frekvence zvoka
* zvok dobimo kot amplitudo v odvisnosti od časa, spektrogram pa je grafični prikaz spremembe frekvenčnega spektra skozi čas
* kako torej razstavimo vhodni signal (trenutna amplituda v odvisnosti od časa) v frekvenčni spekter
# motivacija 2
* plimovanje sicer na prvi pogled izgleda naključno, vendar se izkaže, da gre za vsoto sinusnih valovanj, ki jih povzročajo spreminjajoče se lokacije nebesnih teles (razdalje do Zemlje) z različnimi amplitudami, faznimi zamiki in frekvencami.
* napovedovanje bi torej izvedli tako, da bi našli te komponente, ki sestavljajo ...
# definicija pojmov
* kaj je sinus, kosinus
* kaj je valovanje:
* kaj je amplituda
* kaj je faza, fazni zasuk
* kaj je frekvenca
* primeri: zvok, ...
* kompleksno število in kompleksna ravnina
# fourierova vrsta
* vsota končno oz. neskončno mnogo kosinusnih valovanj z različnimi amplitudami, frekvencami in faznimi zamiki
* kako bi zapisali npr. kvadratno valovanje (square wave) kot fourierovo vrsto ... sawtooth wave, triangl.
* vse periodične funkcije lahko zapišemo s fourierovo vrsto, vendar ne vedno končno
* enostavno je sešteti periodične funkcije, težje pa je ugotoviti, katere seštete periodične funkcije so komponente nekega danega valovanja/signala.
# fourierova transformacija
* matematična operacija, ki vhodnim podatkom v obliki amplitude v odvisnosti od časa priredi razporeditev frekvenčnih komponent, ki predstavljajo te vhodne podatke ter amplitude posameznih frekvenc.
# intuicija za delovanje fourierove transformacije
* animacija: *navijanje* nihanja po enotski krožnici; ko periodo zadenemo z obsegom kroga.
* kako izgleda sum sinx in sin2x
* obnašanje faznega zasuka signala oz. komponente
* transformacija vsote dveh signalov je enaka vsoti transformacij posameznih komponent obeh signalov: ft(a(x)+b(x))=ft(a(x))+ft(b(x))
# matematična oblika
* eulerjeva formula: e^(i\phi)=cos\phi+isin\phi
* ... izpeljava
* inverz je fourierova
# diskretni signal
* za razliko od zveze reprezentacije valovanja, je diskretna reprezentacija signala samo zaporedje vzorcev amplitude na časovni interval.
* ko nek signal zajemamo, so v diskretni obliki, torej imamo zaporedje vzorcev (samplov) amplitude v odvisnosti od odvisne spremenljivke (časa)
* primer: mikrofon, ...
* kako pa na takih podatkih izvesti fourierovo transformacijo in pridobiti frekvenčne komponente, ki sestavljajo signal
* mat zapis zaporedja a_n
* teorija nyquist-shannon: za popolno reprezentacijo signala z največjo frekvenco B potrebujemo vsaj 1/(2B) časovnega razmika med posameznimi vzorci (frekvenca vzorčenja je 2B)
* pojasni!
* slikica aliasing
# dft
* poleg vhoda je tudi izhod dft je diskreten, s tem da imamo vrednosti amplitud diskretnih frekvenčnih komponent -- izračunamo končno mnogo frekvenčnih komponent, kolikor jih potrebujemo (ločljivost)
* koncept transformacijskega okna -- lahko so to vsi vzorci (recimo pri frekvenčnem spektru), lahko pa je to le del zaporednih vzorcev (recimo pri spektrogramu)
* algoritem: naivno bi za vsako željeno frekvenco izračunali amplitudo, torej tak sum: sum začenjši t=t_1 do t_n A_vhodni(t) * e^(i2\pi f t)
* izračunska kompleksnost algoritma je število, ki predstavlja število korakov glede na število vhodnih podatkov:
* v tem naivnem primeru algoritma za izračun: O(n * m), kjer je n število željenih frekvenc in m število vzorcev v oknu
# hitra diskretna transformacija
* nekatera
* zmanjša izračunsko zahtevnost na
# praktične uporabe
* kompresija slik z izgubami -- JPEG
* dtmf z diskretno ft
# dopplerjev radar
# uvod v heisenbergovo načelo nedoločnosti
# misc
* https://prajwalsouza.github.io/Experiments/Fourier-Transform-Visualization.html
|
